1. а) Даны пять чисел: 1, 2, 3, 4, 5. За один ход к любым двум числам разрешается прибавить по единице. Покажи, как за несколько ходов все числа сделать равными.
б) Даны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Можно ли, прибавляя за один ход к любым двум числам по единице, сделать все эти числа равными?
Ответ:
а) 1, 2, 3, 4, 5 → 2, 3, 4, 5, 5
    2, 3, 4, 5, 5 → 3, 4, 5, 5, 5
    3, 4, 5, 5, 5 → 4, 5, 5, 5, 6
    4, 5, 5, 5, 6 → 5, 6, 5, 5, 6
    5, 6, 5, 5, 6 → 6, 6, 5, 5, 6
    6, 6, 5, 5, 6 → 6, 6, 6, 6, 6

б) Сумма чисел равна: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
За один ход к двум числам прибавляется по 1. Значит, общая сумма каждый раз увеличивается на 2.
Поэтому сумма будет такой:
21, 23, 25, 27, 29, 31, ...
Она всегда будет нечетной.

Если все числа станут равными, например 6, 6, 6, 6, 6, 6, то их сумма будет:
6 • 6 = 36 - четное число.
Значит, получить такую сумму из нечетной суммы невозможно.

2. Поставь знаки действий и скобки между некоторыми цифрами так, чтобы равенства стали верными.
6    6    6    6 = 1
6    6    6    6 = 2
6    6    6    6 = 3
6    6    6    6 = 4
6    6    6    6 = 5
6    6    6    6 = 6
6    6    6    6 = 7
6    6    6    6 = 8
Ответ:
6 : 6 + (6 - 6) = 1
6 : 6 + 6 : 6 = 2
6 • 6 : (6 + 6) = 3
6 - (6 + 6) : 6 = 4
(6 • 6 - 6) : 6 = 5
6 • (6 - 6) + 6 = 6
(6 • 6 + 6) : 6 = 7
(6 + 6) : 6 + 6 = 8

3. Поставь между некоторыми цифрами знаки действий и скобки так, чтобы равенства стали верными.
9    9    9    9 = 10
9    9    9    9    9 = 10
Ответ:
(99 - 9) : 9 = 10
(9 + 9) : (9 + 9) + 9 = 10

4. Дано верное равенство:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.
Замени только один из знаков сложения на знак умножения так, чтобы значение выражения стало равным 100.
Ответ:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 • 9 = 100

5. Поставь между некоторыми цифрами знаки действий и скобки так, чтобы равенство стало верным.
1    2    3    4    5    6 = 7
Ответ:
1 • 2 : (3 + 4 - 5) + 6 = 7

6. Емеля подарил царевне Несмеяне головоломку: квадрат надо разрезать на 4 одинаковые части по линиям сетки так, чтобы каждая часть содержала по одной закрашенной клетке. Помоги Несмеяне решить головоломку.
Ответ:

7. В записи восьмизначного числа каждая из цифр 1, 2, 3 и 4 встречается по два раза. Известно, что между двумя единицами стоит одна цифра, между двумя двойками — две цифры, между двумя тройками — три цифры, а между двумя четвёрками — четыре цифры. Что это за число?
Ответ:
Это число 41312432.